Função gamma é definida por:

\[\Gamma ( n) =\int ^{\infty }_{0} x^{n-1} \ e^{-x} \ dx\\\]

O que generaliza a função fatorial (!) como mostra os exemplos abaixo:

\[\begin{array}{l} \\ n=1\\ \Gamma ( 1) =\int ^{\infty }_{0} x^{1-1} \ e^{-x} \ dx\\ \\ \Gamma ( 1) =\int ^{\infty }_{0}\underbrace{x^{0}}_{\begin{bmatrix} v \end{bmatrix}}\underbrace{e^{-x}}_{\begin{bmatrix} \acute{u} \end{bmatrix}} \ \ dx \end{array}\] \[\int\nolimits ^{b}_{a}\acute{u} v=uv\ -\int\nolimits ^{b}_{a} u\acute{v}\] \[\begin{array}{l} \Gamma ( 1) =\frac{-x^{0}}{e^{0}} \ -\frac{-x^{0}}{e^{\infty }} +\int\nolimits ^{\infty }_{0} e^{-x} 0\ dx\\ \\ \Gamma ( 1) =e^{0} \ -e^{-\infty }\\ \\ \Gamma ( 1) =1 \end{array}\]
\[\begin{array}{l} \\ n=2\\ \Gamma ( 2) =\int ^{\infty }_{0} x^{2-1} \ e^{-x} \ dx\\ \\ \Gamma ( 2) =\int ^{\infty }_{0}\underbrace{x^{1}}_{\begin{bmatrix} v \end{bmatrix}}\underbrace{e^{-x}}_{\begin{bmatrix} \acute{u} \end{bmatrix}} \ \ dx \end{array}\] \[\int\nolimits ^{b}_{a}\acute{u} v=uv\ -\int\nolimits ^{b}_{a} u\acute{v}\] \[\begin{array}{l} \Gamma ( 2) =0+1\int\nolimits ^{\infty }_{0} e^{-x} \ x^{0} \ dx\\ \\ \Gamma ( 2) =e^{0} \ -e^{-\infty }\\ \\ \Gamma ( 2) =1 \end{array}\]

A continuação desse desenvolvimento possibilita o desdobramento abaixo:

\[\begin{array}{l} \Gamma ( 1) =\int ^{\infty }_{0} x^{0} \ e^{-x} \ dx\ =1\\ \\ \Gamma ( 2) =\int ^{\infty }_{0} x^{1} \ e^{-x} \ dx\ =1\int ^{\infty }_{0} x^{0} \ e^{-x} \ dx\\ \\ \Gamma ( 3) =\int ^{\infty }_{0} x^{2} \ e^{-x} \ dx\ =2\int ^{\infty }_{0} x^{1} \ e^{-x} \ dx\\ \\ \Gamma ( 4) =\int ^{\infty }_{0} x^{3} \ e^{-x} \ dx\ =3\int ^{\infty }_{0} x^{2} \ e^{-x} \ dx\\ \\ \Gamma ( 5) =\int ^{\infty }_{0} x^{4} \ e^{-x} \ dx\ =4\int ^{\infty }_{0} x^{3} \ e^{-x} \ dx\\ \\ \Gamma ( 6) =\int ^{\infty }_{0} x^{5} \ e^{-x} \ dx\ =5\int ^{\infty }_{0} x^{4} \ e^{-x} \ dx \end{array}\]

que pode ser reescrito da seguinte forma:

\[\begin{array}{l} \Gamma ( 1) =1\\ \\ \Gamma ( 2) =1\Gamma ( 1)\\ \\ \Gamma ( 3) =2\Gamma ( 2)\\ \\ \Gamma ( 4) =3\Gamma ( 3)\\ \\ \Gamma ( 5) =4\Gamma ( 4)\\ \\ \Gamma ( 6) =5\Gamma ( 5) \end{array}\]

Ou das seguintes formas:

\[\begin{array}{l} \Gamma ( n+1) =n\Gamma ( n)\\ \\ \Gamma ( n+1) =n!\\ \\ n!=n\Gamma ( n)\\ \\ \Gamma ( n) =\frac{n!}{n}\\ \end{array}\]

Integrando com a função gamma

Dadas as identidades podemos integrar funções do tipo polinômio exponenciais de uma forma mais simples utilizando o fatorial (!)

\[\begin{array}{l} f( x) =x^{1} e^{-x}\\ \\ \int ^{\infty }_{0} x^{1} e^{x} \ dx\ =\ \Gamma ( 2) \ =\ 1!\\ \\ \\ f( x) =x^{2} e^{-x}\\ \\ \int ^{\infty }_{0} x^{2} e^{x} \ dx\ =\ \Gamma ( 3) \ =\ 2!\\ \\ \\ f( x) =x^{3} e^{-x}\\ \\ \int ^{\infty }_{0} x^{3} e^{x} \ dx\ =\ \Gamma ( 4) \ =\ 3! \end{array}\]

Através da função Gamma também é possível encontrar o fatorial de valores fracionários dado que \(n! = n\Gamma (n)\)

\[\Gamma ( 1.5) =\int ^{\infty }_{0} x^{1/2} e^{x} \ dx\ =\ 0.886270\ =\frac{\sqrt{\pi }}{2} \ =0.5!\]

Através dessa definição conseguimos resolver a integral e vários tipos de função, ex:

\[\int ^{\infty }_{0} y^{-\frac{1}{2}} e^{-2y} \ dy\]

Dado que Gamma de n é definido por:

\[\Gamma ( n) =\int ^{\infty }_{0} x^{n-1} \ e^{-x} \ dx\]

Podemos forcar algumas identidades:

\[y\ =\ \frac{x}{2} \ \therefore x=2y\]

Para \(y \longrightarrow 0\ \Rightarrow x\ \longrightarrow \ 0\)

Para \(y \longrightarrow \infty \ \Rightarrow x \longrightarrow \infty\)

\[\frac{dy}{dx} =\frac{1}{2} \ \therefore dy=\frac{1}{2} dx\]

Então:

\[\begin{array}{l} \int ^{\infty }_{0}\left(\frac{x}{2}\right)^{-\frac{1}{2}} e^{-x} \ dx\\ \\ \frac{\sqrt{2}}{2} \ \int ^{\infty }_{0} x^{\frac{1}{2} -1} e^{-x} dx\\ \\ \frac{\sqrt{2}}{2} \Gamma \ \left(\frac{1}{2}\right) =\frac{1}{2} \ \sqrt{2}\sqrt{\pi } =\frac{1}{2}\sqrt{2\pi } =\sqrt{\frac{\pi }{2}} \end{array}\]