Dot Product

\[\vec{V} .\vec{W} \ =\sum ^{n}_{i=1} v_{i} w_{i}\]

Angulo entre os vetores

\[\begin{array}{l} \vec{V} .\vec{W} \ =\ \parallel \vec{V} \parallel \parallel \vec{W} \parallel \cos \theta \ \\ \\ \cos \theta \ =\ \frac{\vec{V}\vec{W}}{\parallel \vec{V} \parallel \parallel \vec{W} \parallel }\\ \end{array}\] \[\vec{V} .\vec{W} \ =0\] \[\vec{V} .\vec{W} \ >0\] \[\vec{V} .\vec{W} \ < 0\] \[\vec{V} .\vec{W} \ >C\]

Mulriplicação de matriz

Propriedades

• Distributive property 👍

\[A( B+C) =AB+AC\]

• Associative property 👍

\[A( BC) =( AB) C\]

• Commutative property 👎

\[\begin{array}{l} AB\neq BA\\ AB=\begin{bmatrix} 1\\ 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & 1 \end{bmatrix} \ =\begin{bmatrix} 1*1 & 1*1\\ 1*1 & 1*1 \end{bmatrix} \ =\ \begin{bmatrix} 1 & 1\\ 1 & 1 \end{bmatrix}\\ BA=\begin{bmatrix} 1 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1\\ 1 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 1*1+1*1 \end{bmatrix} =2 \end{array}\]

Operação

\[\begin{bmatrix} 1 & 0 & 1\\ 2 & 0 & -1\\ 0 & 1 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 4\\ -1\\ 5 \end{bmatrix} \ =\ \begin{bmatrix} 1*4 & 0*( -1) & 1*5\\ 2*4 & 0*( -1) & -1*5\\ 0*4 & 1*( -1) & 1*5 \end{bmatrix} \ =\begin{bmatrix} 9\\ 3\\ 4 \end{bmatrix}\] \[\begin{bmatrix} 1 & 2\\ -1 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 2 \end{bmatrix} \ =\ \begin{bmatrix} 1*1+2*0 & 1*1+2*1 & 1*0+2*2\\ -1*1+1*0 & -1*1+1*1 & -1*0+1*2 \end{bmatrix} \ =\begin{bmatrix} 1 & 3 & 4\\ -1 & 0 & 2 \end{bmatrix}\] \[\underbrace{\begin{bmatrix} 1 & 0\\ 2 & 3\\ 4 & 5 \end{bmatrix}}_{3x2}\underbrace{\begin{bmatrix} 2 & 1\\ 8 & 7\\ 1 & 4 \end{bmatrix}}_{3x2}\]

A matrizes acima não são multiplicáveis pois o numero de linhas da segunda não é igual ao numero de colunas da primeira assim como o exempli abaixo:

\[\underbrace{\begin{bmatrix} 2 & 1 & 3\\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix}}_{2x3}\underbrace{\begin{bmatrix} 2 & 1\\ 8 & 7\\ 1 & 4 \end{bmatrix}}_{3x2}\]

Hadamard product

\[\underbrace{\begin{bmatrix} 1 & 0\\ 2 & 3\\ 4 & 5 \end{bmatrix}}_{3x2}\underbrace{\begin{bmatrix} 2 & 1\\ 8 & 7\\ 1 & 4 \end{bmatrix}}_{3x2} =\ \begin{bmatrix} 1*2 & 0*1\\ 2*8 & 3*7\\ 4*1 & 5*4 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 2 & 0\\ 16 & 21\\ 4 & 20 \end{bmatrix}\] \[[ A\circ B]_{ij} =a_{ij} b_{ij}\]

Propriedades

• Distributive property 👍

\[A\circ ( B+C) =A\circ B+A\circ C\]

• Associative property 👍

\[A\circ ( B\circ C) =( A\circ B) \circ C\]

• Commutative property 👍

\[A\circ B=B\circ A\]

Geometria das operações

\[V=\begin{bmatrix} 2\\ 1 \end{bmatrix} \ =\ 2\underbrace{\begin{bmatrix} 1\\ 0 \end{bmatrix}}_{c_{1}} +1\underbrace{\begin{bmatrix} 0\\ 1 \end{bmatrix}}_{c_{2}}\] \[\begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 2 & 1\\ 1 & 1 \end{bmatrix} \ =\ \begin{bmatrix} 2 & 1\\ 1 & 1 \end{bmatrix}\] \[\begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & 0 \end{bmatrix} \ =\ \begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & 0 \end{bmatrix}\] \[\begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{bmatrix}( -1) \ =\ \begin{bmatrix} -1 & 0\\ 0 & -1 \end{bmatrix}\]

Inversão de matriz

\[\begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 2 & 1\\ 1 & 1 \end{bmatrix} \ =\ \begin{bmatrix} 2 & 1\\ 1 & 1 \end{bmatrix}\] \[\begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & 0 \end{bmatrix} \ =\ \begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & 0 \end{bmatrix}\] \[\begin{array}{l} AA^{-1} =I\\ \\ \begin{bmatrix} e & f\\ g & h \end{bmatrix}\begin{bmatrix} a & b\\ c & d \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{bmatrix}\\ \\ \left\{\begin{matrix} ea+fc\ =1\\ eb+fa=0\\ ga+hc=1\\ gb+hd=0 \end{matrix}\right. \end{array}\]

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